Nombre de Damköhler

Le nombre de Damköhler est un nombre sans dimension utilisé en cinétique chimique pour définir les conditions opérationnelles d'une réaction.

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Cinétique chimique - Chimie générale - Nombre adimensionnel - Catalyse

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Le nombre de Damköhler $(D a)$ est un nombre sans dimension utilisé en cinétique chimique pour définir les conditions opérationnelles d'une réaction. Il existe plusieurs variantes de ce nombre selon le dispositif étudié^[1].

Ce nombre porte le nom de Gerhard Damköhler, un chimiste allemand.

Da_I

Le nombre de Damköhler Da_I représente le rapport entre la vitesse de réaction consommant le réactif A et le flux du réactif A.

On le définit de la manière suivante

$Da_I = \frac{k \cdot C_{A}ˆn \cdot V}{F_{A}} = \frac{k \cdot C_{A}ˆn \cdot V}{C_{A} \cdot \dot{V}} = \tau \cdot k \cdot {C_{a}}ˆ{n-1}$

avec :

k - constante de réaction
C_A - concentration du réactif A
V - volume

n - ordre de la réaction
F_A - flux du réactif A
τ - temps de passage

Ce nombre est particulièrement utile pour estimer la conversion des réacteurs continus. Les équations cinétiques peuvent être écrites pour obtenir l'équation suivante :

$X = \frac{Da_I}{1+Da_I} \qquad \text{reaction de 1er ordre}$

$X = \frac{1+2 \cdot Da_I - \sqrt{1+4 \cdot Da_I}}{2 \cdot Da_I} \qquad \text{reaction de 2eme ordre}$

Pour une bonne conversion, le nombre de Damköhler doit être grand. Comme valeur indicative, quand Da_I < 0.1, alors X < 0.1 et si Da_I > 10, alors X > 0.9^[2]. Dans le cas d'un réacteur discontinu, le temps de passage est remplacé par le temps de réaction.

Da_II

Le nombre de Damköhler Da_II est utilisé en catalyse hétérogène. La réactionse déroule sur le catalyseur, généralement un solide, et les réactifs doivent passer du solvant à la surface du catalyseur. Ce transfert de masse est limité par la diffusion du réactif au travers de la couche limite de diffusion qui se trouve à la surface du catalyseur. Le nombre de Damköhler devient par conséquent le rapport entre la vitesse de la réaction et le flux des réactifs au travers de la couche de diffusion.

On le définit de la manière suivante

$Da_{II} = \frac{k \cdot {C_{A}}ˆ{n-1}\cdot {L_{C}}ˆ2}{D}$

avec :

k - Constante de réaction
C_A - Concentration du réactif A
n - Ordre de la réaction
L_c - Longueur caractéristique
D - Cœfficient de diffusion

Da_III

Le nombre de Damköhler Da_III est identique au nombre de Damköhler Da_I, mais il s'applique au transfert de chaleur. Il s'agit du rapport du flux de chaleur dégagé par la réaction sur le flux de chaleur évacué via un écoulement convectif.

On le définit de la manière suivante

$Da_{III} = \frac{k \cdot {C_{A}}ˆn \cdot -\Delta_r H \cdot L_c}{\rho \cdot c_p \cdot T_0 \cdot v}$

avec :

k - constante de réaction
C_A - concentration du réactif A
n - ordre de la réaction
L_c - longueur caractéristique

-Δ_rH - enthalpie de réaction
ρ - masse volumique
c_p - capacité calorifique
T₀ - température
v - vitesse du fluide

Da_IV

Le nombre de Damköhler Da_IV est le pendant du nombre de Damköhler Da_II en transfert thermique. Il s'agit du rapport du flux de chaleur dégagé par la réaction sur le flux de chaleur évacué par conduction.

On le définit de la manière suivante

$Da_{IV} = \frac{k \cdot {C_{A}}ˆn \cdot -\Delta_r H \cdot {L_c}ˆ2}{\lambda \cdot T_0} = Da_{III} \cdot Pe$

avec :

k - constante de réaction
C_A - concentration du réactif A
n - ordre de la réaction
L_c - longueur caractéristique

-Δ_rH - enthalpie de réaction
λ - conductivité
T₀ - température
Pe - nombre de Péclet

Da_t

Il existe toujours un nombre de Damköhler turbulent Da_t utilisé pour caractériser la turbulence et la forme des flammes dans les phénomènes de combustion.

On le définit de la manière suivante

$Da_t = \frac{\tau_0}{\tau_L} = \frac{L_0 \cdot v_L}{v' \cdot \delta_L}$

avec :

τ₀ - temps de fluctuation
τ_L - temps chimique
δ_L - épaisseur de la flamme en régime laminaire
v_L - vitesse de propagation du front de flamme
L₀ - longueur caractéristique des tourbillons
v'- vitesse de fluctuation

La vitesse de propagation du front de flamme est définie de la manière suivante^[3]

$v_L = \left( \frac{\alpha}{\tau} \right)ˆ{0P$

avec

α - diffusivité thermique
τ - temps de réaction $\tau = \frac {1}{k} = \left( k_{\mathcal{1}} \cdot exp \left(\frac {-E_a}{R \cdot T} \right) \right)ˆ{-1}$

La vitesse de fluctuation est définie par

$v' = \left( \frac{2 \cdot K_0}{\rho} \right)ˆ{0P$

avec

ρ - masse volumique
K₀ - énergie cinétique turbulente

Lorsque Da_t <1, le temps pour une modification de la composition chimique du front de flamme est plus grand que le temps pour un changement du mouvement du fluide. Ceci se traduit par une zone intermédiaire entre la flamme et la zone extérieure où les produits et les réactifs de la combustion se mélangent si bien que le front de la flamme n'est plus distinguable^[4].

Notes et références

(en) Carl W. Hall, Laws and Models :Science, Engineering and Technology, CRC Press, Boca Raton, 2000, 524 p. (ISBN 8449320186)
(en) H. Scott Fogler, Elements of Chemical Reaction Engineering, Pearson Educational International, 2006 (ISBN 0-130127839-8)
J. Warnatz, U. Maas, R. W. Dibble, Combustion : Physical and Chemical Fundamentals, Modeling and Simulation, Experiments, Pollutant Formation, Springer Berlin Heidelberg, 2006, 378 p. (ISBN 9783540259923) , «8», p. 120
J. Warnatz, U. Maas, R. W. Dibble, Combustion : Physical and Chemical Fundamentals, Modeling and Simulation, Experiments, Pollutant Formation, Springer Berlin Heidelberg, 2006, 378 p. (ISBN 9783540259923) , «15», p. 229

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