Équation de Michaelis-Menten

L'équation de Michælis-Menten sert à décrire la cinétique d'une réaction catalysée par une enzyme agissant sur un substrat unique pour donner un produit.

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L'équation de Michælis-Menten (ou de Michælis-Menten-Henri) sert à décrire la cinétique d'une réaction catalysée par une enzyme agissant sur un substrat unique pour donner un produit. Elle relie la vitesse de la réaction à la concentration de substrat ainsi qu'à des paramètres constants, caractéristiques de l'enzyme. L'équation de Michælis-Menten fut proposée en 1913 par l'allemand Leonor Michælis et la canadienne Maud Menten, d'où son nom. Elle peut être reconnue comme formalisme simplifié de l'équation de Langmuir-Hinshelwood, suggérée ultérieurement par Irving Langmuir en 1921 et dévéloppée par Cyril Norman Hinshelwood en 1926. ^[1] Elle est adaptée à de nombreuses enzymes, mais ne permet cependant pas de rendre compte de comportements complexes, comme la multiplicité des substrats ou l'existence de plusieurs sites actifs présentant des comportements coopératifs ou anticoopératifs (allostérie).

Formule et représentation

Représentation de Michælis–Menten montrant la vitesse de réaction v selon la concentration du substrat [S]

Selon le modèle de Michælis et Menten, l'équation décrivant la vitesse de réaction enzymatique est la suivante :

$v_{i} = {v_{max} \cdot [S] \over K_{M} + [S]}$

Avec :

$v i$ : vitesse initiale (c'est-à-dire en absence de produit) de la réaction enzymatique pour une concentration de substrat $[S]$ (en µmol/min) ^[2] ;
$v m a x$ : vitesse d'origine maximale mesurée pour une concentration saturante de substrat (en µmol/min) ^[2] ;
$[S]$ : Concentration en substrat (en mol/L) ^[2] ;
$K M$ : Constante de Michælis spécifique de l'enzyme. C'est la concentration en substrat pour laquelle la vitesse d'origine de la réaction est égale à la moitié de la vitesse d'origine maximale ${v_{max} \over 2}$ (en mol/L) ^[2]. Elle correspond à l'inverse de la constante d'affinité apparente du substrat pour l'enzyme.

Graphiquement, l'équation de Michælis-Menten est une branche d'hyperbole.

Détermination des constantes

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les paramètres de Michælis-Menten d'une enzyme. Dans la pratique, on réalise une série de mesures de la vitesse d'origine de la réaction pour différentes valeurs de la concentration de substrat [S]. Il est important de se placer dans des conditions de vitesse d'origine (absence de produit P en quantité significative) pour respecter les hypothèses simplificatrices discutées ci-dessous.

Historiquement, pour déterminer numériquement les paramètres $K M$ et $v m a x$ , les enzymologistes ont eu recours à différentes formes de linéarisation de l'équation de Michælis-Menten. Il s'agit de changements de variables qui transforment l'équation d'origine en équation linéaire, qu'il est alors envisageable d'ajuster graphiquement ou par régression linéaire. Parmi ces linéarisations classiques, on peut citer la représentation de Lineweaver et Burk, celle de Eadie et Hofstee ou celle de Scatchard.

Aujourd'hui, ces différentes techniques ont été remplacées par la régression non-linéaire, plus précise et plus robuste.

Représentation de Lineweaver-Burk

Représentation de Lineweaver & Burk

Dans cette approche, on détermine les constantes de l'enzyme $K M$ et $v m a x$ par la représentation des inverses (représentation de Lineweaver et Burk) qui est une droite d'équation :

${1 \over v_{i}} = ({K_{M} \over v_{max}} \times {1 \over [S]}) + {1 \over v_{max}}$

Pour un graphique de ${1 \over v_{i}}$ selon ${1 \over [S]}$ , la pente est ${K_{M} \over v_{max}}$ et l'ordonnée à l'origine est ${1 \over v_{max}}$ ,

d'où

$v_{max} = {1 \over ordonnee}$ et $K_M = {pente\over ordonnee}$

Démonstration

Démonstration de l'équation de Michælis-Menten

$E+S \stackrel {k_1}{\underset {k_2}{\rightleftharpoons}} ES \stackrel {k_3}{\underset {k_4}{\rightleftharpoons}} E + P$

Avec $k 1, k 2, k 3, k 4$ les constantes de vitesse des réactions.

L'analyse de Michælis-Menten se fait sous deux hypothèses simplificatrices :

Pas de réaction inverse. On se place dans des conditions initiales où il n'y a pas de produit P dans le test enzymatique. On analyse la vitesse d'origine de la réaction, avant que le produit ait le temps de s'accumuler. La catalyse est alors particulièrement déplacée dans le sens de la synthèse des produits, la réaction inverse dont la vitesse est $k 4 [E][P]$ est tandis quasiment inexistante, puisque [P]≈0.
Hypothèse dite du pré-équilibre rapide. On suppose que le premier équilibre dans l'équation ci-dessus, dépendant des constantes cinétiques $k 1$ et $k 2$ est particulièrement rapide devant l'étape de catalyse elle-même, déterminée par $k 3$ , qui est généralement limitante. Ceci revient à dire qu'à tout instant on a $\frac{d[ES]}{dt}=0$

Le dispositif se simplifie alors de la manière suivante :

$E+S \stackrel {k_1}{\underset {k_2}{\rightleftharpoons}} ES \stackrel{k_3}{\rightarrow} E + P$

$v = k_3 \times [ES]$

La vitesse de formation du complexe $[E S]$ est $v = k_1 \times [E] \times [S]$
La vitesse d'élimination du complexe $[E S]$ est $v = (k_2+k_3) \times [ES]$
Au cours de la phase stationnaire, la concentration du complexe enzyme-substrat $[E S]$ est constante. Par conséquent la vitesse de formation de ce complexe $[E S]$ doit être égale à celle de dissociation.
$k_1 \times [E] \times [S] = (k_2+k_3) \times [ES]$
Soit
$[ES] = \frac{k_1 \times [E] \times [S]}{(k_2+k_3)}$

On trouve une constante appelée constante de Michælis : $K_M = \frac{[E] \times [S]}{[ES]} = \frac{k_3 + k_2}{k_1}$

Comme $[E S]$ est complexe à déterminer expérimentalement, on cherche à s'en affranchir avec une autre équation. La concentration en enzyme libre $[E]$ est donné par la relation de la conservation de la quantité d'enzyme $[E] = [E T] - [E S]$ avec $[E T]$ la concentration totale en enzyme.

$[ES] = \frac{{}\times{[S]}}{K_M}$

Soit

$[ES] + \frac{{[ES]}\times{[S]}}{K_M} = \frac{{[E_T]}\times{[S]}}{K_M}$

En mettant $[E S]$ en facteur dans le premier terme :

$[ES] \times \left(1 + \frac{[S]}{K_M}\right) = \frac{{[E_T]}\times{[S]}}{K_M}$

En mettant au même dénominateur le premier terme :

$\frac{{[ES]}\times{(K_M + [S])}}{K_M} = \frac{{[E_T]}\times{[S]}}{K_M}$

Soit

$[ES] =\frac{{[E_T]}\times{[S]}}{K_M} \times \frac{K_M}{K_M + [S]}$

D'où

$[ES] =\frac{{[E_T]}\times{[S]}}{K_M + [S]}$

$v = k_3 \times [ES] = k_3 \times \frac{{[E_T]}\times{[S]}}{K_M + [S]}$

v m a x

[E S] = [E T]

$v_{max} = k_3 \times [E_T]$

D'où

$\frac{v}{v_{max}} = k_3 \times \frac{{[E_T]}\times{[S]}}{K_M + [S]} \times \frac{1}{k_3 \times [E_T]}$

$\frac{v}{v_{max}} = \frac{[S]}{K_M + [S]}$

On trouve l'équation de Michælis :

$v = v_{max} \times \frac{v}{v_{max}} = v_{max} \times \frac{[S]}{K_M + [S]}$

Cette équation est une expression de la vitesse d'origine selon deux constantes : la vitesse maximum, de la constante de Michælis et de la concentration du substrat.

Notes et références

(en) K. J. Laidler et J. H. Meiser "Physical Chemistry" (Benjamin-Cummings 1982), p. 780
Le choix des unités est arbitraire et doit rester homogène

Voir aussi

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